Question

如圖，已知圓O₁與圓O₂外切于點P，過點P的直線交圓O₁于點A，交圓O₂于點B，AC為O₁的直徑，BD切O₂于B，交AC延長線于D．
（1）求證：AD⊥BD；
（2）求證：若BC、PD相交于點M，則AP•BM=AD•PM．

Answer 1

分析：（I）如圖，過點P作兩圓公切線交BD于T，連接PC，利用AC為直徑，可得∠APC=90°，于是∠BPC=∠TPC+∠TPB=90°，又BD與⊙O₂相切于B，PT為兩圓公切線，可得∠TPC=∠A，∠TBP=∠TPB，得到∠A+∠TBP=90°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠ADB=90°，即可證明AD⊥BD．
（II）如圖所示，由（Ⅰ）易證△APC∽△ADB，利用三角形相似的性質(zhì)可得對應邊成比例，又由（Ⅰ）知∠ACP=∠DBP，可得P、B、D、C四點共圓，又易證△PCM∽△BDM，再利用三角形相似的性質(zhì)即可得出．

解答：證明：（Ⅰ）如圖，過點P作兩圓公切線交BD于T，
連接PC，∵AC為直徑，∴∠APC=90°，
∴∠BPC=∠TPC+∠TPB=90°，
又BD與⊙O₂相切于B，PT為兩圓公切線，
∴∠TPC=∠A，∠TBP=∠TPB，
∴∠A+∠TBP=90°，
故∠ADB=90°，∴AD⊥BD．
（Ⅱ）如圖所示，由（Ⅰ）易證△APC∽△ADB，
∴

PC

BD

=

AP

AD

，又由（Ⅰ）知∠ACP=∠DBP，
∴P、B、D、C四點共圓，又易證△PCM∽△BDM，∴

PC

BD

=

PM

BM

，
∴

PM

BM

=

AP

AD

，
∴AP•BM=AD•PM．

點評：本題中考查了相切兩圓的切線性質(zhì)、弦切角定理、圓的直徑的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)、四點共圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．