Question

若R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當0＜x≤1時，f（x）=log₂x，則方程在區(qū)間（2010，2012）內(nèi)的所有實數(shù)根之和為（ ）
A．4020
B．4022
C．4024
D．4026

Answer 1

【答案】分析：由奇函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱可得f（x+4）=f（x），再利用f（0）=0，及0＜x≤1時，f（x）=log₂x，數(shù)形結合，可求得方程f（x）=+f（0）=在區(qū)間（2010，20121）內(nèi)的所有實根之和．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
∵f（x）=f（0）
∴f（x）=
∵0＜x≤1時，f（x）=log₂x≤0，
∴f（x）=在（0，1）內(nèi)沒有一實根，在（-1，0）內(nèi)有一實數(shù)根x₁
又函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=在（2，3）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，
當2010＜x＜2012時，函數(shù)的圖象與2＜x＜4的圖象一樣
∴原方程在區(qū)間（2010，2012）內(nèi)的實根有2個，設為a，b，則
∴a+b=4022
故選B
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對稱性，關鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結合0＜x≤1時，f（x）=log₂x與奇函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，數(shù)形結合予以解決，屬于中檔題．