若R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log2x，則方程f(x)=
1
4
+f(0)在區(qū)間（2010，2012）內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為（　　）
分析：由奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱可得f（x+4）=f（x），再利用f（0）=0，及0＜x≤1時(shí)，f（x）=log2x，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）=
1
4
+f（0）=
1
4
在區(qū)間（2010，20121）內(nèi)的所有實(shí)根之和．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
∵f（x）=f（0）+
1
4

∴f（x）=
1
4

∵0＜x≤1時(shí)，f（x）=log2x≤0，
∴f（x）=
1
4
在（0，1）內(nèi)沒有一實(shí)根，在（-1，0）內(nèi)有一實(shí)數(shù)根x1
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（x）=
1
4
在（2，3）有一個(gè)實(shí)根x2，且x1+x2=2；
∵f（x）的周期為4，
當(dāng)2010＜x＜2012時(shí)，函數(shù)的圖象與2＜x＜4的圖象一樣
∴原方程在區(qū)間（2010，2012）內(nèi)的實(shí)根有2個(gè)，設(shè)為a，b，則
a+b
2
=2011
∴a+b=4022
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合0＜x≤1時(shí)，f（x）=log2x與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，f（x）=2x，若an=f(n)(n∈N*)，則a2011=
-
1
2
-
1
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北海一模）定義在R上的奇函數(shù)y=f（x），對(duì)任意不等的實(shí)數(shù)x1，x2都有[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＜0成立，若不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0成立，則當(dāng)1≤x≤4時(shí)，
y
x
的取值范圍為
[-
1
2
，1]
[-
1
2
，1]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

若R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log2x，則方程數(shù)學(xué)公式在區(qū)間（2010，2012）內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為


  1. A.
    4020
  2. B.
    4022
  3. C.
    4024
  4. D.
    4026

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山西省太原五中高三（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

若R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log2x，則方程在區(qū)間（2010，2012）內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為（ ）
A．4020
B．4022
C．4024
D．4026

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案