Question

（08年湖北卷文）（本不題滿分12分）

    如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm^2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？

 

Answer 1

解法1：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.         ①

廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.

廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b=,代入①式得a=120，從而b=75.

即當(dāng)a=120，b=75時(shí),S取得最小值24500.

故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25

兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=

廣告的面積S=xy=x()＝x,

整理得S=

因?yàn)?I>x－20＞0，所以S≥2

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即當(dāng)x=140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，

故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

【試題解析】本題是解不等式，當(dāng)然要注意問題的轉(zhuǎn)化。

【高考考點(diǎn)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、不等式等知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.【易錯(cuò)提醒】不等式解出后在寫最后的結(jié)果時(shí)出錯(cuò)；求導(dǎo)求錯(cuò)。

【備考提示】解不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不等式問題貫穿高中數(shù)學(xué)的始終；導(dǎo)數(shù)是新增加的內(nèi)容，是處理許多問題的有利工具，是高考的必考內(nèi)容，考生一定要認(rèn)真掌握。