(08年湖北卷文)(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中,平面側(cè)面
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)若,直線AC與平面所成的角為,二面角
(Ⅰ)證明:如圖,過點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D,則
由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1=A1B,
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因?yàn)槿庵?I>ABC-A1B1C1是直三棱柱,
則AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1,
又AB側(cè)面A1ABB1,
故AB⊥BC.
(Ⅱ)證法1:連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A1BC所成的角,∠ABA1就是二面角A1-BC-A的頰角,即∠ACD=θ,∠ABA1=.
于是在RtΔADC中,sinθ=,在RtΔADA1中,sin∠AA1D=,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ與∠AA1D都是銳角,所以θ=∠AA1D.
又由RtΔA1AB知,∠AA1D+=∠AA1B+=,故θ+=.
證法2:由(Ⅰ)知,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=c(c<a=,則B(0,0,0),A(0,c,0),C(),
A1(0,c,a),于是,=(0,c,a),
c,a
設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則由
可取n=(0,-a,c),于是
n?=ac>0,與n的夾角為銳角,則與互為余角
sin=cos=,
cos=
所以sin=cos=sin(),又0<,<,所以+=.
【試題解析】第(1)問證明線線垂直,一般先證線面垂直,再由線面垂直得線線垂直;第(2)問若用傳統(tǒng)方法一般來說要先作垂直,進(jìn)而得直角三角形。若用向量方法,關(guān)鍵在求法向量。
【高考考點(diǎn)】本題主要考查直棱柱、直線與平面所成的角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理能力。
【易錯(cuò)提醒】要牢記面面角,線面角的范圍,特別是用向量法求二面角的時(shí)候要注意所要求的角與向量夾角的關(guān)系。
【備考提示】立體幾何中的垂直、平行,角與距離是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,應(yīng)該熟練掌握。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年湖北卷文)(本小題滿分13分)
已知雙同線的兩個(gè)焦點(diǎn)為
的曲線C上.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年湖北卷文)(本不題滿分12分)
如圖,要設(shè)計(jì)一張矩形廣告,該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm,怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位:cm),能使矩形廣告面積最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年湖北卷文)(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中,平面側(cè)面
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)若,直線AC與平面所成的角為,二面角
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年湖北卷文)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)(為常數(shù),且)有極大值9。
(1) 求的值;
(2) 若斜率為-5的直線是曲線的切線,求此直線方程。
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