Question

已知函數(shù)().
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),取得極值.
① 若,求函數(shù)在上的最小值;
② 求證:對任意,都有.

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為 ；（2）①②詳見解析.

試題分析：(1)求導(dǎo)解得或, 解得；
(2)①當(dāng)時(shí),取得極值, 所以解得，對求導(dǎo)，判斷在,遞增,在遞減，分類討論，求出最小值；②通過求導(dǎo)，求出，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，對任意,都有.
試題解析：(1)  
當(dāng)時(shí),                  
解得或, 解得  
所以單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為  
(2)①當(dāng)時(shí),取得極值, 所以 
解得(經(jīng)檢驗(yàn)符合題意)  
  

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

所以函數(shù)在,遞增,在遞減  
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減, 
  
當(dāng)時(shí)      
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,  
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,  
綜上,在上的最小值
  
②令 得(舍)  
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021938582820.png" style="vertical-align:middle;" /> 所以  
所以,對任意,都有.