（2013•許昌三模）如圖，已知C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G．
（Ⅰ）求證：點F是BD中點；
（Ⅱ）求證：CG是圓O的切線．
分析：（1）由CH⊥AB，DB⊥AB，知△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，由此能夠證明點F是BD中點．
（2）連接CB、OC．由AB是直徑，知∠ACB=90°．由F是BD中點，知∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，由此能證明CG是⊙O的切線．
解答：（1）證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴
EH
BF
=
AE
AF
=
CE
FD
．
又∵HE=EC，∴BF=FD，
故點F是BD中點．…（5分）
（2）證明：如圖，連接CB、OC．
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．
又∵F是BD中點，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA
=∠CAB=∠ACO，
∴∠OCF=90°，
∴CG是⊙O的切線．…（10分）
點評：本題考查線段中點的證明，考查圓的切線的證明．解題時要認(rèn)真審題，注意相似三角形、與圓有關(guān)的比例線段的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）已知f（x）=x3+ax2-a2x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；
（Ⅱ）若a≠0 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）已知圓C的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為y=kx+
3
(k＞0)，O為坐標(biāo)原點，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）如圖，多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=
3
，AD=DE=2，G為AD的中點．
（1）求證；AC⊥CE；
（2）在線段CE上找一點F，使得BF∥平面ACD，并給予證明；
（3）求三棱錐VG-BCE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）己知集合M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若對所有m∈R，均有M∩N≠∅，則b的取值范同是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）設(shè)向量
a
=（
3
sinθ+cosθ+1，1），
b
=（1，1），θ∈[
π
3
，
2π
3
]，m是向量
a
 在向量
b
向上的投影，則m的最大值是（　�。�

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