Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．設(shè)n∈N* ， 定義函數(shù)fn（x）：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n≥2），則下列說(shuō)法正確的有 ①y= 的定義域?yàn)? ；
②設(shè)A={0，1，2}，B={x|f3（x）=x，x∈A}，則A=B；
③ ；
④若集合M={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，
則M中至少含有8個(gè)元素．（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=2（1﹣x）； 當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=x﹣1．
即有f（x）= ，
畫(huà)出y=f（x）在[0，2]的圖象．
對(duì)于①，可得f（x）≤x，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，x﹣1≤x成立；
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，2（1﹣x）≤x，解得 ≤x＜1，即有定義域?yàn)閧x| ≤x≤2}，
故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)x=0時(shí)，f3（0）=f[f2（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；
當(dāng)x=1時(shí)，f3（1）=f[f2（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；
當(dāng)x=2時(shí)，f3（2）=f[f2（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；
即有A=B，故②正確；
對(duì)于③，f1（ ）=2（1﹣ ）= ，f2（ ）=f（f（ ））=f（ ）=2（1﹣ ）= ，
f3（ ）=f（f2（ ））=f（ ）= ﹣1= ，f4（ ）=f（f3（ ））=f（ ）=2（1﹣ ）= ，
一般地，f4k+r（ ）=fr（ ）（k，r∈N）．
即有f2016（ ）+f2017（ ）=f4（ ）+f1（ ）= + = ，故③不正確；
對(duì)于④，由（1）知，f（ ）= ，∴fn（ ）= ，則f12（ ）= ，∴ ∈M．
由（2）知，對(duì)x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，則0、1、2∈M．
由（3）知，對(duì)x= 、 、 、 ，恒有f12（x）=x，∴ 、 、 、 ∈M．
綜上所述 、0、1、2、 、 、 、 ∈M．
∴M中至少含有8個(gè)元素．故④正確．
故選：C．