【題目】已知拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)為F,過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作拋物線C的切線l,l交y軸于點(diǎn)N.
(1)判斷△MFN的形狀;
(2)若A,B兩點(diǎn)在拋物線C上,點(diǎn)D(1,1)滿足 + = ,若拋物線C上存在異于A,B的點(diǎn)E,使得經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)E處的有相同的切線,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:由題意可知:拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)F(0, ),

設(shè)M(x1 ),由y= ,y′=x,

則切線l的方程y﹣ =x1(x﹣x1),則y=x1x﹣ ,

∴N(0, ),丨MF丨= + ,丨NF丨= + ,

丨MF丨=丨NF丨,


(2)

解:設(shè)A(x2, ),由 + =

∴D(1,1)是AB的中點(diǎn),B(2﹣x2,2﹣ ),

由B在拋物線C上,則(2﹣x22=2(2﹣ ),

解得:x2=0,x2=2,

∴A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),(2,2),

設(shè)E(x0, ),(x0≠0,x0≠2),

AB的中垂線方程y=﹣x+2,①AE的中垂線方程y=﹣ x+1+ ,②

由①②解得:圓心M(﹣ , ),

由kMEx0=﹣1,整理得:x02﹣x0﹣2=0,

解得:x0=﹣1或x0=2,由x0≠0,x0≠2,

∴x0=﹣1,

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1, ).


【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程,當(dāng)x=0,求得N點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線的焦半徑公式,即可求得丨MF丨=丨NF丨,則△MFN為等腰三角形;(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得B點(diǎn)坐標(biāo),分別求得AE及AB的中垂線方程,即可求得△ABE外接圓的圓心,由kMEx0=﹣1,即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo).

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