Question

【題目】如圖，已知四錐中，，底面ABCD為形，，點E為的AD中點.

（1）證明：平面平面PBE；

（2）若，二面角的余弦值為，且，求PE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明，，又，可證得，，則可證得平面PBE，從而可證得平面平面PBE；

（2）設(shè)，易證兩兩垂直，可建立空間直角坐標系，用坐標法表示出，二面角的余弦值為，從而求得.

（1）證明：連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，又，

∴是等邊三角形，又E為AD中點，

∴，，

又，∴，，

又BE，平面PBE，，

∴平面PBE，又平面PBC，∴平面平面PBE.

（2）由（1）得，又，∴易知平面ABCD，

∴,由（1）得，.

以E為原點，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)，則，，，，，

設(shè)為平面PAD的法向量，

則，即，∴取，則，

設(shè)為平面PAB的法向量，

則，，∴取，則，

則，∴，∴.