已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P，|PF|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的直線與橢圓C1相交于M、N兩點(diǎn)，求使
FM
+
FN
=
FR
成立的動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程．
分析：（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），依據(jù)拋物線的定義，由|PF|=
5
3
，可求x0．由點(diǎn)P在拋物線C2上，且在第一象限可求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由點(diǎn)P在橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1上及c=1，a2=b2+c2=b2+1，可求a，b，從而可求橢圓的方程
（2）設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），則由
FM
+
FN
=
FR
，可得x1+x2-2=x-1，y1+y2=y．利用設(shè)而不求的方法可得
y1-y2
x1-x2
=-
3(x+1)
4y
，設(shè)FR的中點(diǎn)為Q，則Q的坐標(biāo)為(
x+1
2
，
y
2
)．由M、N、Q、A四點(diǎn)共線可得
y1-y2
x1-x2
=
y
2
x+1
2
+1
=
y
x+3
整理可得
解答：（1）解：拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），依據(jù)拋物線的定義，由|PF|=
5
3
，得1+x0=
5
3
，解得x0=
2
3
．
∵點(diǎn)P在拋物線C2上，且在第一象限，∴
y
2
0
=4x0=4×
2
3
，解得y0=
2
6
3
．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
2
3
，
2
6
3
)．
∵點(diǎn)P在橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1上，∴
4
9a2
+
8
3b2
=1．
又c=1，且a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3．
∴橢圓C1的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）解：設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），
則
FM
=(x1-1，y1)，
FN
=(x2-1，y2)，
FR
=(x-1，y)．
∴
FM
+
FN
=(x1+x2-2，y1+y2)．
∵
FM
+
FN
=
FR
，
∴x1+x2-2=x-1，y1+y2=y．①
∵M(jìn)、N在橢圓C1上，∴
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1．
上面兩式相減得
(x1+x2)(x1-x2)
4
+
(y1+y2)(y1-y2)
3
=0．②
把①式代入②式得
(x+1)(x1-x2)
4
+
y(y1-y2)
3
=0．
當(dāng)x1≠x2時(shí)，得
y1-y2
x1-x2
=-
3(x+1)
4y
．③
設(shè)FR的中點(diǎn)為Q，則Q的坐標(biāo)為(
x+1
2
，
y
2
)．
∵M(jìn)、N、Q、A四點(diǎn)共線，∴kMN=kAQ，即
y1-y2
x1-x2
=
y
2
x+1
2
+1
=
y
x+3
．④
把④式代入③式，得
y
x+3
=-
3(x+1)
4y
，化簡(jiǎn)得4y2+3（x2+4x+3）=0．
當(dāng)x1=x2時(shí)，可得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-3，0），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)R（-3，0）在曲線4y2+3（x2+4x+3）=0上．
∴動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為4y2+3（x2+4x+3）=0．
點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的性質(zhì)與圓錐曲線的定義相結(jié)合，在解題時(shí)要注意靈活應(yīng)用這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算在直線與橢圓的位置關(guān)系中涉及到直線的斜率、線段的中點(diǎn)結(jié)合在一起的問(wèn)題，“設(shè)而不求”得做法可以簡(jiǎn)化解題的基本運(yùn)算，這是解決此類問(wèn)題的重要方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C1上，對(duì)角線BD所在的直線的斜率為1．
①當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)（0，
1
7
）時(shí)，求直線AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
，其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P，連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連接PB并延長(zhǎng)交橢圓C1于點(diǎn)N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，離心率e=
1
2

（1）設(shè)拋物線C2：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案