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已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,其中F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,M是C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的頂點A,C在橢圓C1上,對角線BD所在的直線的斜率為1.
①當直線BD過點(0,
1
7
)時,求直線AC的方程;
②當∠ABC=60°時,求菱形ABCD面積的最大值.
分析:(1)根據右焦點F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,且|MF2|=
5
3
,可求出F2,根據拋物線的定義可求得點M的橫坐標,并代入拋物線方程,可求其縱坐標;把點M代入橢圓方程,以及焦點坐標,解方程即可求得橢圓C1的方程;
(2)①直線BD所在的直線的斜率為1,且過點(0,
1
7
),可求出BD的方程,∵ABCD為菱形,∴AC⊥BD,設直線ACy=-x+m,聯(lián)立消去y,得到關于x的一元二次方程,△>0,利用韋達定理即可求得AC的中點,在直線BD上,可求直線AC的方程;②ABCD為菱形,且∠ABC=60°,∴|AB|=|BC|=|CA|,菱形ABCD面積的最大值,轉化為求弦AC的最大值,利用韋達定理求出AC的長度,并求其最大值即可.
解答:解:(1)設M(x1,y1)∵F2(1,0)|MF2| =
5
3

由拋物線定義,x1+1=
5
3
,∴x1=
2
3
y
2
1
=4x1
,∴y1=
2
6
3

M(
2
3
,
2
6
3
)∵M
在c1上,
4
9a2
+
8
3b2
=1
,又b2=a2-1
∴9a4-37a2+4=0∴a2=4或a2=
1
9
c2
舍去.
∴a2=4,b2=3
∴橢圓c1的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)①直線BD的方程為y=x+
1
7

∵ABCD為菱形,∴AC⊥BD,設直線AC為y=-x+m,
x2
4
+
y2
3
=1
y=-x+m
,得7x2-8mx+4m2-12=0
∵A,C、在橢圓C1上,∴△>0解得(-
7?
,<m<
7?
)

設A(x1,y1),c(x2,y2),
x1+x2=
8m
7
x1x2=
4m2-12
7
,
y1 =-x1+m2y2=-x2+m2y1+y2=
6m
7
,AC
的中點坐標為(
4m
7
,
3m
7
)

由ABCD為菱形可知,點(
4m
7
3m
7
)
在直線y=x+
1
7
上,
3m
7
=
4m
7
+
1
7
,m=-1∈(-
7
,
7
)

∴直線AC的方程為y=-x-1
即x+y+1=0.
②∵ABCD為菱形,且∠ABC=60°,
∴|AB|=|BC|=|CA|,
∴菱形ABCD的面積
S=
3
2
|AC|2=
3
2
[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

3
2
 •2[(x1+x2)2-4x1x2]
3
(
64m2
49
-4
4m2-12
7
)

=
483
49
(7-m2 ),(-
7
,<m<
7
)

∴當m=0時,菱形ABCD的面積取得最大值
483
7
點評:此題是個難題.考查拋物線的定義和簡單的幾何性質,待定系數法求橢圓的標準方程,以及直線和橢圓相交中的有關中點弦的問題,綜合性強,特別是問題(2)的設問形式,增加了題目的難度,注意直線與圓錐曲線相交,△>0.體現了數形結合和轉化的思想方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一條準線方程是x=
25
4
,其左、右頂點分別是A、B;雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一條漸近線方程為3x-5y=0.
(1)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;
(2)在第一象限內取雙曲線C2上一點P,連接AP交橢圓C1于點M,連接PB并延長交橢圓C1于點N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,直線l:y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程.
(Ⅱ)設橢圓C1的左焦點為F1,右焦點為F2,直線l1過點F1,且垂直于橢圓的長軸,動直線l2垂直l1于點P,線段PF2的垂直平分線交l2于點M,求點M的軌跡C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點F2,求四邊形ABCD的面積的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦點,C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點,若C1恰好將線段AB三等分,則b2=
0.5
0.5

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•汕頭一模)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2,右頂點為A,離心率e=
1
2

(1)設拋物線C2:y2=4x的準線與x軸交于F1,求橢圓的方程;
(2)設已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點,頂點為焦點,b是雙曲線C3在第一象限上任意-點,問是否存在常數λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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