Question

【題目】設(shè)是一個由和構(gòu)成的行列的數(shù)表，且中所有數(shù)字之和不小于，所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合記為，記為的第行各數(shù)之和，為的第列各數(shù)之和，為、、，、、、、中的最大值.

（1）對如下數(shù)表，求的值；

（2）設(shè)數(shù)表，求的最小值；

（3）已知為正整數(shù)，對于所有的，，且的任意兩行中最多有列各數(shù)之和為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）計算出、、、、、的值，根據(jù)題中定義可得出的值；

（2）由題意知，中所有數(shù)字之和的最小值為，則中至少有個，只有當每行或每列都放個，才能使得取到最小值，然后就某行某列分別放個、個、個，列舉出其他行（或列）的個數(shù)，得出的最小值，于此得出；

（3）先計算出數(shù)表中的元素之和為，由題意定義得出，可得出，然后分別就、、、、時就的任意兩行中數(shù)字之和為的列數(shù)進行分析，可得出的值.

（1）由題意可得，，

；

（2）由題意可得，中所有數(shù)字之和不小于，即至少有個.

而要使最小，則中只有個，此時如表排列.

下面利用來說明.

①當某行某列全都是時，則其他行（或列）的個數(shù)分別為：、、、，此時；

②當某行某列只放個時，則其他行（或列）的個數(shù)分別為：、、、，則；

③當某行過某列放個時，則其他行（或列）的個數(shù)分別為：、、、，此時.

由上可知，；

（3），中所有數(shù)字之和為，

由題意可得，解得.

①當時，每行中僅有列為，任意兩行中至多有列和為，舍去；

②當時，每行中僅有列為，任意兩行中至多有列和為，舍去；

③當時，如下表所示，每行中僅有列為，任意兩行中至多有列和為，

合乎題意；

④當或時，不成立.

綜上所述，.