Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)A是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線，，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若點(diǎn)，是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且的內(nèi)切圓方程為，直線的斜率為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意得到：點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，再利用拋物線的定義即可得到曲線的方程.

（2）首先設(shè)，點(diǎn)，點(diǎn)，求出直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離為，得到，同理得到，即是關(guān)于的方程的兩根，再根據(jù)韋達(dá)定理得到，再求的范圍即可.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，

過作直線，，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，

所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，

所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

所以曲線的方程為.

（2）設(shè)，點(diǎn)，點(diǎn)，

直線的方程為：，

化簡得，

因?yàn)?/span>的內(nèi)切圓的方程為，

所以圓心到直線的距離為，即，

整理得：，

由題意得，所以上式化簡得，

同理，有.

所以是關(guān)于的方程的兩根，

，.

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以，

直線的斜率，則，

所以，

因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，

所以，，

所以0.

即的取值范圍是.