在數(shù)列{an}中,已知a1=
1
4
,
an+1
an
=
1
4
bn+2=3log
1
4
an(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn,求{cn}的前n項和Sn
分析:(1)由題設(shè)知數(shù)列{an}是首項為
1
4
,公比為
1
4
的等比數(shù)列,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(2)由bn+2=3log
1
4
an
,知bn=3log
1
4
(
1
4
)n-2
=3n-2.由此能夠證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(3)由an=(
1
4
)n
,bn=3n-2,知cn=an+bn=(
1
4
n+3n-2,由此利用分組求和法能求出{cn}的前n項和Sn
解答:解:(1)在數(shù)列{an}中,∵a1=
1
4
,
an+1
an
=
1
4
,bn+2=3log
1
4
an(n∈N*)
,
∴數(shù)列{an}是首項為
1
4
,公比為
1
4
的等比數(shù)列,
∴an=(
1
4
n,n∈N*
(2)∵bn+2=3log
1
4
an

bn=3log
1
4
(
1
4
)n-2
=3n-2.
∴b1=1,bn+1-bn=3,
∴數(shù)列{bn}是首項為b1=1,公差d=3的等差數(shù)列.
(3)由(1)知an=(
1
4
)n
,bn=3n-2,
∴cn=an+bn=(
1
4
n+3n-2,
∴Sn=1+
1
4
+4+(
1
4
2+7+(
1
4
3+…+(3n-5)+(
1
4
n-1+(3n-2)+(
1
4
n
=[1+4+7+…+(3n-5)+(3n-2)]+[
1
4
+(
1
4
2+(
1
4
3+…+(
1
4
n]
=
n(1+3n-2)
2
+
1
4
[1-(
1
4
)n]
1-
1
4

=
3n2-n
2
+
1
3
-
1
3
•(
1
4
)n
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n和的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意分組求和法的合理運用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=
1
4
,
an+1
an
=
1
4
,bn+2=3log 
1
4
an(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)cn=
3
bnbn+1
,Sn是數(shù)列{cn}的前n項和,求使Sn
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=
an1+2an
(n∈N+)

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an的表達式;
(2)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=2,且an+2等于an•an+1的個位數(shù)(n∈N*),若數(shù)列{an}的前k項和為2011,則正整數(shù)k之值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•淮南二模)在數(shù)列{an}中,已知an≥1,a1=1,且an+1-an=
2
an+1+an-1
,n∈N+
(1)記bn=(an-
1
2
2,n∈N+,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項公式;
(3)對?k∈N+,是否總?m∈N+使得an=k?若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=
7
2
,an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*).
(Ⅰ)計算a2,a3;
(Ⅱ)求證:{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的通項公式an及其前n項和Sn

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