在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=
an1+2an
(n∈N+)

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式;
(2)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想.
分析:(1)利用a1=1,an+1=
an
1+2an
(n∈N+)
,n分別取2,3,4,可求出a2,a3,a4,并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),a1=
1
2×1-1
=1
,猜想成立;②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立,利用an+1=
an
1+2an
(n∈N+)
,可證得當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立,故可得結(jié)論.
解答:解:(1)∵a1=1,an+1=
an
1+2an
(n∈N+)

a2=
1
1+2
=
1
3
….(1分)
a3=
1
3
1+
2
3
=
1
5
…(2分)
a4=
1
5
1+
2
5
=
1
7
…(3分)
由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
(n∈N+)
…..(5分)
(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí),a1=
1
2×1-1
=1
,猜想成立…..(6分)
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)猜想成立,即ak=
1
2k-1
….(7分)
an+1=
an
1+2an
(n∈N+)
.…(8分)
ak+1=
ak
1+2ak
=
1
2k-1
1+
2
2k-1
=
1
2k+1
…(12分)
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立…..(13分)
根據(jù)①和②,可知猜想對(duì)任何n∈N+都成立…..(14分)
(用其他方法正確證明也給分)
點(diǎn)評(píng):本題以數(shù)列遞推式為載體,考查數(shù)列的通項(xiàng)的猜想與證明,解題的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明,尤其第二步的證明.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=
1
4
,
an+1
an
=
1
4
,bn+2=3log 
1
4
an(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)cn=
3
bnbn+1
,Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求使Sn
m
20
對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=2,且an+2等于an•an+1的個(gè)位數(shù)(n∈N*),若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為2011,則正整數(shù)k之值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•淮南二模)在數(shù)列{an}中,已知an≥1,a1=1,且an+1-an=
2
an+1+an-1
,n∈N+
(1)記bn=(an-
1
2
2,n∈N+,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式;
(3)對(duì)?k∈N+,是否總?m∈N+使得an=k?若存在,求出m的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,已知a1=
7
2
,an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*).
(Ⅰ)計(jì)算a2,a3;
(Ⅱ)求證:{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn

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