Question

【題目】已知函數(shù) (其中， ).

(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

(3)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，都有.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）最大值是 ，最小值是0；（3）證明見解析 .

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知：當(dāng)時(shí)， 恒成立，解出的取值范圍即可；（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求得結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論，只要令，利用放縮法證明即可.

試題解析：(1) ，

函數(shù)在上為增函數(shù)， 對(duì)任意恒成立. 對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立. 時(shí)， ， 所求正實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(2)當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞增；

在上有唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>， ，

，

所以在上有的最大值是

綜上所述， 在上有的最大值是，最小值是0

(3)當(dāng)時(shí)， ， ，故在上是增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，

所以，即

所以

對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，都有.