【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,點M是PD的中點,作ME⊥PC,交PC于點E.
(1)求證:PB∥平面MAC;
(2)求證:PC⊥平面AEM;
(3)求二面角A﹣PC﹣D的大小.
【答案】
(1)證明:如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,設(shè)AD=1.
, ,所以 ,
即PB∥MG,因此,PB∥平面MAC
(2)證明: , ,
故 ,
所以PC⊥AM,又PC⊥EM,
所以 PC⊥平面AEM
(3)解:由(2)知PC⊥AE,故MEA是二面角A﹣PC﹣D的平面角.
設(shè)E=(x,y,z),則 .因為 ,
所以(x,y,z﹣1)=k(1,1,﹣1),
即x=k,y=k,z=1﹣k.
所以 ,
所以k= ,點 .
又點 ,所以 , =( , ,﹣ ),
故 ,
所以∠MEA=60°,即二面角A﹣PC﹣D的大小為60°
【解析】(1)建立空間坐標(biāo)系,求出直線對應(yīng)的向量,利用向量法即可證明PB∥平面MAC;(2)根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合向量法即可證明PC⊥平面AEM;(3)根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角,結(jié)合向量即可求二面角A﹣PC﹣D的大小.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案.
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【題目】已知全集為全體實數(shù)R,集合A={x|3≤x≤7},B={x|2<x<10},C={x|x<a}.
(1)求(RA)∩B;
(2)若A∩C≠,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD= ,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(3)線段AD上是否存在點Q,使得它到平面PCD的距離為 ?若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】以下莖葉圖記錄了甲、乙兩個籃球隊在3次不同比賽中的得分情況.乙隊記錄中有一個數(shù)字模糊,無法確認(rèn),假設(shè)這個數(shù)字具有隨機性,并在圖中以m表示.那么在3次比賽中,乙隊平均得分超過甲隊平均得分的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,2AB=2AC=AA1 , 則異面直線BA1與B1C所成的角的余弦值等于 .
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2, . (Ⅰ)如果b=3,求c的值;
(Ⅱ)如果 ,求sinB的值.
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【題目】已知命題p:存在x∈(﹣∞,1)使得x2﹣4x+m=0成立,命題q:方程 表示焦點在x軸上的橢圓.
(1)若p是真命題,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若p或q是假命題,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù) ,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x﹣4y﹣12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且 =﹣ .
(1)求角B的大。
(2)若a+c=2,S△ABC= ,求b的值.
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