Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD= ，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（3）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為 ？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△PAD卡中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD．

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

（2）解：連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以O(shè)B∥DC．

由（1）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．

因?yàn)锳D=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以O(shè)B= ，

在Rt△POA中，因?yàn)锳P= ，AO=1，所以O(shè)P=1，

在Rt△PBO中，PB= ，所以cos∠PBO= ，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為 ．

（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為 ．

設(shè)QD=x，則S△DQC= x，由（2）得CD=OB= ，

在Rt△POC中，PC= ，

所以PC=CD=DP，S△PCD= = ，

由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x= ，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí) = ．

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．