Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln x－a(x－1)，g(x)＝ex.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)h(x)＝f(x＋1)＋g(x)，當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）(－∞，2]

【解析】分析：（1）由函數(shù)，求得，分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）因?yàn)?/span>，所以，令，求得，得到單調(diào)性和最值，即可求解．

詳解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)..

①若a≤0，對(duì)任意的x>0，均有f′(x)>0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；.

②若a>0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為...

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)因?yàn)?/span>h(x)＝f(x＋1)＋g(x)＝ln (x＋1)－ax＋ex，所以

h′(x)＝ex＋－a..

令φ(x)＝h′(x)，因?yàn)?/span>x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝ex－＝＞0.

所以h′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，h′(x)>h′(0)＝2－a，

①當(dāng)a≤2時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，h(x)>h(0)＝1恒成立，符合題意；.

②當(dāng)a>2時(shí)，h′(0)＝2－a<0，h′(x)>h′(0)，所以存在x0∈(0，＋∞)，使得h′(x0)＝0..

所以h(x)在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，x0)上單調(diào)遞減，又h(x0)<h(0)＝1，所以h(x)＞1不恒成立，不符合題意．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．