【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作圓(x﹣5)2+y2=9的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,|MN|=3
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)A,B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且 (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
①求證:直線AB必過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo);
②過點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G,D兩點(diǎn),求四邊形AGBD面積的最小值.
【答案】
(1)解:由已知可得K(﹣ ,0),圓C:(x﹣5)2+y2=9的圓心C(5,0),半徑r=3.
設(shè)MN與x軸交于R,由圓的對(duì)稱性可得|MR|=
于是|CR|= ,
即有|CK|= =6,
即有5+ =6,解得p=2,則拋物線E的方程為y2=4x
(2)證明①:設(shè)直線AB:x=my+t,A( ,y1),B( ,y2),
聯(lián)立拋物線方程可得y2﹣4my﹣4t=0,
y1+y2=4m,y1y2=﹣4t,
,即有 +y1y2= ,
解得y1y2=﹣18或2(舍去),
即﹣4t=﹣18,解得t= .
則有AB恒過定點(diǎn)Q( ,0);
②解:由①可得|AB|= |y2﹣y1|= ,
同理|GD|= ,
則四邊形AGBD面積S= |AB||GD|=4 ,
令m2+ =μ(μ≥2),則S=4 是關(guān)于μ的增函數(shù),
則當(dāng)μ=2時(shí),S取得最小值,且為88.
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí),四邊形AGBD面積的最小值為88
【解析】(1)求得K的坐標(biāo),圓的圓心和半徑,運(yùn)用對(duì)稱性可得MR的長,由勾股定理和銳角的三角函數(shù),可得CK=6,再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得p=2,進(jìn)而得到拋物線方程;(2)①設(shè)出直線方程,聯(lián)立拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡整理,即可得到定點(diǎn)Q;
②運(yùn)用弦長公式和四邊形的面積公式,換元整理,結(jié)合基本不等式,即可求得最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第 屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2016年8月5日 21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行.下表是近五屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位:枚).
| 第31屆里約 | 第30屆倫敦 | 第29屆北京 | 第28屆雅典 | 第27屆悉尼 |
中國 | 26 | 38 | 51 | 32 | 28 |
俄羅斯 | 19 | 24 | 24 | 27 | 32 |
(1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會(huì)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體數(shù)值,給出結(jié)論即可);
(2)下表是近五屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和 (從第 屆算起,不包括之前已獲得的金牌數(shù))隨時(shí)間 (時(shí)間代號(hào))變化的數(shù)據(jù):
屆 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
時(shí)間代號(hào)(x) | 1 | 2 | 3 | 5 | |
金牌數(shù)之和(y枚) | 28 | 60 | 111 | 149 | 175 |
作出散點(diǎn)圖如下:
①由圖中可以看出,金牌數(shù)之和 與時(shí)間代號(hào) 之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)求出 關(guān)于 的線性回歸方程;
②利用①中的回歸方程,預(yù)測(cè)2020年第32屆奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù).
參考數(shù)據(jù):,,.
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù) ,,,,其回歸直線的斜率的最小二乘估計(jì)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在區(qū)間 上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只要將y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
B.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
C.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
D.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】運(yùn)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果是( )
A.e2016﹣e2015
B.e2017﹣e2016
C.e2015﹣1
D.e2016﹣1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,點(diǎn)N在線段PB上,且PN=2.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形的中心為直線和直線的交點(diǎn),其一邊所在直線方程為
(1)寫出正方形的中心坐標(biāo);
(2)求其它三邊所在直線的方程(寫出一般式).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在曲靖收費(fèi)站從7座以下小型汽車中按進(jìn)收費(fèi)站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進(jìn)行抽樣調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲?/span>)分成六段:,,,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.
(I)調(diào)查公司在抽樣時(shí)用到的是哪種抽樣方法?
(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;
(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))
(1)以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位)建立極坐標(biāo)系,若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4, ),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),利用曲線C的參數(shù)方程求Q到直線l的距離的最大值與最小值的差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=log2( +a).
(1)當(dāng)a=5時(shí),解不等式f(x)>0;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個(gè)元素,求a的取值范圍.
(3)設(shè)a>0,若對(duì)任意t∈[ ,1],函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.
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