精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知正項數列的首項,其前項和為,且與的等比中項是,數列滿足：.

(1)求,并求數列的通項公式；

(2)記,,證明：.

【答案】(1),,. (2)見解析

【解析】

(1)由題可得,再根據通項與前項和的關系求得遞推公式,再根據的值求解通項即可.

(2)根據通項與前項和的關系求出的通項公式,再代入可得再利用裂項放縮法或者利用數學歸納法證明即可.

(1)依題意,

由,得,.

于是有,,兩式相減可得.

約去正項可得.

又,,所以是以1為首項,1為公差的等差數列.

故.

(2)依題意,

當時,,

兩式相減即得.

另外亦符合上式,所以.

證一：

所以.

證二：（1）時命題成立.

（2）假設時命題成立,即

那么

即當時命題也成立.

綜合（1）（2）對任意命題均成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若實數滿足，則稱為函數的不動點．

（1）求函數的不動點；

（2）設函數，其中為實數．

① 若時，存在一個實數，使得既是的不動點，又是 的不動點（是函數的導函數），求實數的取值范圍；

② 令，若存在實數，使，，， 成各項都為正數的等比數列，求證：函數存在不動點．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知矩形為中點，沿直線將翻折成，直線與平面所成角最大時，線段長是( )

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）證明：不等式在恒成立；

（2）證明：在存在兩個極值點，

附：，，.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為．過點的直線與拋物線相交于、兩點，、分別與軸相交于、兩點，當軸時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設的面積為，面積為，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，為橢圓上的兩點，滿足，其中，分別為左右焦點.

（1）求的最小值；

（2）若，設直線的斜率為，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）設，點為的中點，求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數，.

（1）若，討論的零點個數；

（2）證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網絡知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數據：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

同步練習冊答案