已知函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),求的最小值;

(Ⅲ)若對任意給定的,在上總存在兩個不同的,使得成立,求的取值范圍.

 

【答案】

(Ⅰ)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

試題分析:(Ⅰ)函數(shù)f (x)的定義域為,

當(dāng)時,

, 由

的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.                               ……4分

(Ⅱ)恒成立等價于:恒成立,

,x,

于是上為減函數(shù),又在x=e處連續(xù),

故在,

從而要使對任意的恒成立.

只要,故的最小值為.                                             ……9分

(Ⅲ)一次函數(shù)上遞增,故函數(shù)上的值域是

當(dāng)時,為單調(diào)遞減函數(shù),不合題意;

當(dāng)時,,

要使不單調(diào),只要,此時、

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

注意到時,

∴對任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個不同的使得成立,當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件,即

當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減.

所以,當(dāng)時有對任意恒成立.

又由,解得……②

∴ 綜合①②可知,當(dāng)時,對任意給定的,在上總存在兩個不同的,使成立.                                                            ……14分

考點:本小題注意考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

點評:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具,研究單調(diào)性、極值、最值時不要忘記先求函數(shù)的定義域,而不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決,分類討論時要注意分類標(biāo)準(zhǔn)要不重不漏.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)(其中e為自然對數(shù))

求F(x)=h(x)的極值。

設(shè)  (常數(shù)a>0),當(dāng)x>1時,求函數(shù)G(x)的單調(diào)區(qū)

間,并在極值存在處求極值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年廣東省中山市一中高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)對任意的,恒成立,求的最小值;

(3)若對任意給定的,在上總存在兩個不同的,使得成立,求的取值范圍.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省高三第二次段考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知函數(shù),.(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),

(Ⅰ)設(shè)曲線處的切線與直線垂直,求的值;

(Ⅱ)若對于任意實數(shù)≥0,恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)當(dāng)時,是否存在實數(shù),使曲線C:在點

處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省等三校高三2月月考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)

已知函數(shù),.(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),

(Ⅰ)設(shè)曲線處的切線與直線垂直,求的值;

(Ⅱ)若對于任意實數(shù)≥0,恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)當(dāng)時,是否存在實數(shù),使曲線C:在點

處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆福建省福州市高二期末理科考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;(5分)

(Ⅱ)若,求函數(shù)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.(5分)

(III) 若函數(shù)的圖象有三個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍.

  (參考數(shù)據(jù))(2分)

 

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