【題目】某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案,方案甲的中獎(jiǎng)率為 ,中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案乙的中獎(jiǎng)率為 ,中獎(jiǎng)可以獲得3分;未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.
(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分為x,求x≤3的概率;
(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),問:他們選擇何種方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大?

【答案】
(1)解:由題意知,小明中獎(jiǎng)的概率為 ,小紅中獎(jiǎng)的概率為 ,且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,

記“他們的累計(jì)得分X≤3”的事件為A,則事件A的對(duì)立事件是“X=5”,

因?yàn)镻(X=5)= ,∴P(A)=1﹣P(X=5)= ;

即他們的累計(jì)得分x≤3的概率為


(2)解:設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1,

小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2,則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1

都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2

由已知可得,X1~B(2, ),X2~B(2, ),

∴E(X1)=2× = ,E(X2)=2× =

從而E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= ,

由于E(2X1)>E(3X2),

∴他們選擇甲方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大


【解析】(1)記“他們的累計(jì)得分X≤3”的事事件為A,則事件A的對(duì)立事件是“X=5”,由題意知,小明中獎(jiǎng)的概率為 ,小紅中獎(jiǎng)的概率為 ,且兩人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,先根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)立事件的概率,再利用對(duì)立事件的概率公式即可求出他們的累計(jì)得分x≤3的概率.(2)設(shè)小明、小紅兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1 , 甲小明、小紅兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2 , 則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1),都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2).根據(jù)題意知X1~B(2, ),X2~B(2, ),利用貝努利概率的期望公式計(jì)算即可得出E(2X1)>E(3X2),從而得出答案.

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p

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