Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，則
①動(dòng)點(diǎn)C（x，y）到坐標(biāo)原點(diǎn)的“直角距離”等于1，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱．
②設(shè)A（-1，9）、B（1，0），滿足到A的“直角距離”等于到B的“直角距離”的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是一條長(zhǎng)度為2的線段；
③設(shè)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），C（x，y）則{（x，y）|d（C，F(xiàn)₁）+d（C，F(xiàn)₂）=4}⊆{（x，y）|

x2

4

+

y2

3

≤1}其中真命題有

 

（填序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：結(jié)合新定義逐一求出三個(gè)命題中的軌跡，然后分類求出所有情況加以判斷．

解答： 解：對(duì)于①，由動(dòng)點(diǎn)C（x，y）到坐標(biāo)原點(diǎn)的“直角距離”等于1，得|x|+|y|=1，
則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為

x+y=1，x≥0，y≥0 x-y=1，x≥0，y＜0 -x+y=1，x＜0，y≥0 x+y=-1，x＜0，y＜0

，圖象如圖，

∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱，命題①正確；
對(duì)于②，A（-1，9）、B（1，0），滿足到A的“直角距離”等于到B的“直角距離”的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為
|x+1|+|y-9|=|x-1|+|y|，
當(dāng)x≤-1，y≤0時(shí)，化為-x-1-y+9=-x+1-y，即7=0，矛盾；
當(dāng)x≤-1，0＜y＜9時(shí)，化為-x-1-y+9=-x+1+y，即y=

7

2

，；
當(dāng)x≤-1，y≥9時(shí)，化為-x-1+y-9=-x+1+y，即11=0，矛盾；
同理分析另外六種情況．
由當(dāng)x≤-1，0＜y＜9時(shí)，y=

7

2

即可判斷②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），C（x，y），
則{（x，y）|d（C，F(xiàn)₁）+d（C，F(xiàn)₂）=4}={（x，y）||x+1|+|y|+|x-1|+|y|=4}．
當(dāng)y≥0，x≤-1時(shí)，軌跡為{（x，y）|-x+y=2，y≥0，x≤-1}；
當(dāng)y≥0，-1＜x＜1時(shí)，軌跡為{（x，y）|y=1，y≥0，-1＜x＜1}；
當(dāng)y≥0，x≥1時(shí)，軌跡為{（x，y）|x+y=2，y≥0，x≥1}；
由對(duì)稱性可知其它三種情況．
∴{（x，y）|d（C，F(xiàn)₁）+d（C，F(xiàn)₂）=4}⊆{（x，y）|

x2

4

+

y2

3

≤1}．命題③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題是新概念題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．