【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1 , AB⊥AC,M是CC1的中點,N是BC的中點,點P在線段A1B1上運動.
(Ⅰ)求證:PN⊥AM;
(Ⅱ)試確定點P的位置,使直線PN和平面ABC所成的角最大.
【答案】解:(Ⅰ)取AC的中點Q,連結A1Q,易知AM⊥A1Q,
又PN在平面A1C內的射影為A1Q,所以AM⊥PN.
(Ⅱ)作PD⊥AB于D,連結DN,則∠PND為直
線PN和平面ABC所成的角.易知當ND最短,即ND⊥AB
時, 最大,從而∠PND最大,此時D為AB的中點,P為A1B1的中點.
【解析】(Ⅰ)取AC的中點Q,連結A1Q,易知AM⊥A1Q,可得AM⊥PN.(Ⅱ)作PD⊥AB于D,連結DN,則∠PND為直線PN和平面ABC所成的角.易知當ND最短,即ND⊥AB時,∠PND最大,此時D為AB的中點,P為A1B1的中點.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識,掌握相交直線:同一平面內,有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內,沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內,沒有公共點,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平行四邊形ABCD中,已知AD=2AB=2a,BD= ,AC∩BD=E,將其沿對角線BD折成直二面角.
求證:
(1)AB⊥平面BCD;
(2)平面ACD⊥平面ABD.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為弘揚民族古典文化,市電視臺舉行古詩詞知識競賽,某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答,回答正確將給該選手記正10分,否則記負10分.根據(jù)以往統(tǒng)計,某參賽選手能答對每一個問題的概率均為 ;現(xiàn)記“該選手在回答完n個問題后的總得分為Sn”.
(1)求S6=20且Si≥0(i=1,2,3)的概率;
(2)記X=|S5|,求X的分布列,并計算數(shù)學期望E(X).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ (a∈R)是定義域為R的奇函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若存在x∈(0,+∞),使不等式f(x2+x)+f(2﹣tx)<0成立,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=e2x+ ﹣2mf(x)在(m,+∞)上不存在最值,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知g(x)是各項系數(shù)均為整數(shù)的多項式,f(x)=2x2﹣x+1,且滿足f(g(x))=2x4+4x3+13x2+11x+16,則g(x)的各項系數(shù)之和為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有2名男生和3名女生. (Ⅰ)若其中2名男生必須相鄰排在一起,則這5人站成一排,共有多少種不同的排法?
(Ⅱ)若男生甲既不能站排頭,也不能站排尾,這5人站成一排,共有多少種不同的排法?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中 ,若對任意的非零實數(shù) ,存在唯一的非零實數(shù) ,使得 成立, . (并且寫出 的取值范圍)
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