Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，試探索當(dāng)變化時(shí)，是否存在一條定直線(xiàn)，使得點(diǎn)恒在直線(xiàn)上？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)恒在直線(xiàn)上

【解析】試題分析：（1）直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，所以由得從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）探索性問(wèn)題，先通過(guò)特殊情形探索目標(biāo)：令，則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知滿(mǎn)足題意的定直線(xiàn)只能是．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明P,B,D三點(diǎn)共線(xiàn)，可利用斜率相等進(jìn)行證明：設(shè)， ，則，從而 ，再利用直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立方程組得關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得與關(guān)系，進(jìn)而得

試題解析：（1）由題設(shè)，得解得從而，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 4分

（2）令，則， 或者， ．

當(dāng)， 時(shí)， ；當(dāng)， 時(shí)， ，

所以，滿(mǎn)足題意的定直線(xiàn)只能是． 6分

下面證明點(diǎn)恒在直線(xiàn)上．

設(shè)， ，由于垂直于軸，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，從而只要證明在直線(xiàn)上． 8分

由得，

，

， ．① 10分

∵

， 13分

①式代入上式，得， 所以． 15分

∴點(diǎn)恒在直線(xiàn)上，從而直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)三線(xiàn)恒過(guò)同一點(diǎn)

， 所以存在一條定直線(xiàn)： 使得點(diǎn)恒在直線(xiàn)上． 16分