已知拋物線C:x2=2py過點(diǎn)P(1,
1
2
)
,直線l交C于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點(diǎn)M,N.
(1)求p的值;
(2)是否存在定點(diǎn)Q,當(dāng)直線l過點(diǎn)Q時,△PAM與△PBN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)∵P(1,
1
2
)
在拋物線C上,∴1=2p•
1
2
,得p=1.…(3分)
(2)假設(shè)存在定點(diǎn)Q,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為y=kx+b.
聯(lián)立
y=kx+b
x2=2y
得x2-2kx-2b=0,
當(dāng)△=4k2+8b>0時,有x1+x2=2k,x1x2=-2b.…(6分)
∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-2b-2k+1(*)
由題意知,N(1,0),M(1,k+b),
因為△PAM與△PBN的面積相等,所以
1
2
|PN|•|1-x2|=
1
2
|PM|•|1-x1|

|1-x2|=2|k+b-
1
2
|•|x1-1|
,
也即|1-x2|=|2k+2b-1|•|x1-1|…(10分)
根據(jù)(*)式,得(x1-1)2=1,解得x1=0或x1=2.
所求的定點(diǎn)Q即為點(diǎn)A,
即l過Q(0,0)或Q(2,2)時,滿足條件.…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是橢圓外的動點(diǎn),滿足|
F1Q
|=2a.點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)T在線段F2Q上,并且滿足
PT
TF2
=0
,|
TF2
|≠0.
(1)求證:|PQ|=|PF2|;
(2)求點(diǎn)T的軌跡C的方程;
(3)若橢圓的離心率e=
3
2
,試判斷軌跡C上是否存在點(diǎn)M,使△F1MF2的面積S=b2,若存在,請求出∠F1MF2的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(
2
+1),一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1•k2=1;
(Ⅲ)(此小題僅理科做)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若橢圓
x2
4
+
y2
a2
=1與雙曲線
x2
a
-
y2
2
=1有相同的焦點(diǎn),則a的值是( 。
A.1B.-1C.±1D.2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
5
5
,過F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),且△MNF2的周長為4
5

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)AB是過橢圓E中心的任意弦,P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點(diǎn),求△APB面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線C1:y2=8x與雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
有公共焦點(diǎn)F2,點(diǎn)A是曲線C1,C2在第一象限的交點(diǎn),且|AF2|=5.
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
(Ⅱ)以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切,圓N:(x-2)2+y2=1.平面上有點(diǎn)P滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1,l2,它們分別與圓M,N相交,且直線l1被圓M截得的弦長與直線l2被圓N截得的弦長的比為
3
:1
,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=x+2,與拋物線x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點(diǎn),l與x軸交于點(diǎn)C(xC,0).
(1)求證:
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
;
(2)求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積;
(3)某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計算器作圖驗證結(jié)果時(如圖1所示),嘗試拖動改變直線l與拋物線的方程,發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
1
xC
的結(jié)果依然相等(如圖2、圖3所示),你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論,并進(jìn)行證明嗎?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),經(jīng)過點(diǎn)(3,-2)與向量(-1,1)平行的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交x軸于M點(diǎn),又
AM
=2
MB

(Ⅰ)求橢圓C長軸長的取值范圍;
(Ⅱ)若|
AB
|=
3
2
2
,求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
3
2
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),問在橢圓C上是否存在一點(diǎn)M,使四邊形AMBF2為平行四邊形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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