已知橢圓
+=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F
1(-c,0)、F
2(c,0),Q是橢圓外的動點,滿足|
|=2a.點P是線段F
1Q與該橢圓的交點,點T在線段F
2Q上,并且滿足
•=0,|
|≠0.
(1)求證:|PQ|=|PF
2|;
(2)求點T的軌跡C的方程;
(3)若橢圓的離心率e=
,試判斷軌跡C上是否存在點M,使△F
1MF
2的面積S=b
2,若存在,請求出∠F
1MF
2的正切值.
(1)由橢圓的定義有|PF
1|+|PF
2|=2a,
又|QF
1|=|PF
1|+|QP|=2a,
∴|PQ|=|PF
2|.
(2)由(1)得|PQ|=|PF
2|,又
•=0,||≠0.
∴點T為QF
2的中點,
又點O是線段F
1F
2的中點,
∴OT是△QF
1F
2的中位線.
∴
|OT|=|QF1|=a,所以點T的軌跡C的方程是x
2+y
2=a
2.
(3)假設(shè)C上存在點M(x
0,y
0)使S=b
2的充要條件是
,
由題意得|y
0|≤a,由(4)得
|y0|=.
所以若要存在點M,使S=b
2,必須
a≥,即ac≥b
2 ,
∴ac≥a
2-c
2,兩邊同除以a
2得e
2+e-1≥0,解得
≤e<1,或e≤
(舍去).
∵
∈[
,1),
故當(dāng)橢圓的離心率
e=時,軌跡C上存在點M,使△F
1MF
2的面積S=b
2.
在此條件下,
=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),
由
•=-c2+=a2-c2=b2,
•=||•||cos∠F1MF2,
S=||•||sin∠F1MF2=b2,
得tan∠F
1MF
2=2.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
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來源:不詳
題型:填空題
橢圓
+=1上的點到直線x-y+6=0的距離的最小值為______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線y
2=2px(p>0)的焦點F與雙曲
-=1的右焦點重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且
|AK|=|AF|,則A點的橫坐標(biāo)為( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知三角形△ABC的兩頂點為B(-2,0),C(2,0),它的周長為10,求頂點A軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個焦點為F1,F(xiàn)2.
(1)求此雙曲線的焦點坐標(biāo)和漸近線方程;
(2)若橢圓與此雙曲線有共同的焦點,且有一公共點P滿足|PF1|•|PF2|=6,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓E:
+=1(a>b>0)的左焦點F
1的坐標(biāo)為(-1,0),已知橢圓E上的一點到F
1、F
2兩點的距離之和為4.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過橢圓E的右焦點F
2作一條傾斜角為
的直線交橢圓于C、D,求△CDF
1的面積;
(Ⅲ)設(shè)點P(4,t)(t≠0),A、B分別是橢圓的左、右頂點,若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點M、N,求證∠MBP為銳角.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
從圓O:x
2+y
2=4上任意一點P向x軸作垂線,垂足為P′,點M是線段PP′的中點,則點M的軌跡方程是( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓中心在原點,焦點在x軸上,長軸長等于12,離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)在橢圓上任取一點P,過P點做y軸垂線段PQ,Q為垂足,當(dāng)P在橢圓上運動時,求線段PQ的中點M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線C:x
2=2py過點
P(1,),直線l交C于A,B兩點,過點P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點M,N.
(1)求p的值;
(2)是否存在定點Q,當(dāng)直線l過點Q時,△PAM與△PBN的面積相等?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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