Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，在處取得極值，且，

（1）求的極大值和極小值；

（2）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有

成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．

 

Answer 1

（1）極大值為，極小值為；（2）；（Ⅲ）直線斜率的最小值為4，，理由祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）依題意，f'（3）=0，解得m=-6，由已知可設(shè)f（x）=x3-6x2+9x+p，因?yàn)閒（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的極大值和極小值．

（2）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，由（1）知f（x）在[0，t]上遞增，所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t3-6t2+9t，由F（t）≥λt對任意的t恒成立，得t3-6t2+9t≥λt，則λ≤t2-6t+9=（t-3）2，由此能求出λ的取值范圍．

（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，直線OM斜率，因?yàn)?＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，則4≤（x-3）2＜9，即直線OM斜率的最小值為4．由此能夠?qū)С鰂（x）＞4s1nx．

試題解析： （1）依題意，，解得， 1分

由已知可設(shè)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030106043632033192/SYS201503010604428675605958_DA/SYS201503010604428675605958_DA.009.png">，所以，

則，導(dǎo)函數(shù)． 3分

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值4	遞減	極小值0	遞增

 

由上表可知在處取得極大值為，

在處取得極小值為． 5分

（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知在上遞增，

所以的最大值， 6分

由對任意的恒成立，得，

則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030106043632033192/SYS201503010604428675605958_DA/SYS201503010604428675605958_DA.029.png">，所以，則，

因此的取值范圍是． 8分

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030106043632033192/SYS201503010604428675605958_DA/SYS201503010604428675605958_DA.035.png">，所以的最大值，

由對任意的恒成立，得， ∴，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030106043632033192/SYS201503010604428675605958_DA/SYS201503010604428675605958_DA.041.png">，所以，因此的取值范圍是， 9分

綜上①②可知，的取值范圍是． 10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，直線斜率，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030106043632033192/SYS201503010604428675605958_DA/SYS201503010604428675605958_DA.046.png">，所以，則，

即直線斜率的最小值為4． 11分

首先，由，得.

其次，當(dāng)時(shí)，有，所以， 12分

證明如下：

記，則，

所以在遞增，又，

則在恒成立，即，所以 . 14分

考點(diǎn)：1. 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．