Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若，求證：在區(qū)間是增函數(shù)；

(2)設(shè)，若對任意的，恒有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時， ，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并判斷單調(diào)性，說明在區(qū)間是增函數(shù)；

（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，并且判斷函數(shù)只有最小值，無最大值，若滿足條件，即，轉(zhuǎn)化為求的最小值，并且用表示.

（1）當(dāng)，．則.

當(dāng)，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，為上的增函數(shù).

所以，當(dāng)時，.

所以在區(qū)間是增函數(shù).

（2）由題，則

令，則為上的增函數(shù).

當(dāng)；當(dāng)；

所以必然存在，使得，即.

當(dāng)，，即，所以為減函數(shù).

當(dāng)，，即，所以為增函數(shù).

所以，無最大值.

此外，因為，所以.

令，則就有.

又，當(dāng)，，所以為上的增函數(shù).

因為，且，.所以必然有.

此時，.

又任意的，恒有，

所以，即.