【題目】已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)與數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)相同,且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n對任意n∈N*都成立,數(shù)列{bn+1-bn}是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1)?請說明理由.
【答案】(1)an=24-n(n∈N*), bn=n2-7n+14(n∈N*).(2)不存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1)
【解析】
試題分析:(1)利用a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n推出n-1時的表達(dá)式,然后作差求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,利用數(shù)列{bn+1-bn}是等差數(shù)列利用累加法求出{bn}的通項(xiàng)公式;(2)化簡通過k≥4時,單調(diào)遞增,且f(4)=1,所以k≥4時,f(k)≥1,結(jié)合f(1)=f(2)=f(3)=0,說明不存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1).
試題解析:(1)已知得a1+2a2+22a3+…+2n-1an
=8n(n∈N*),①
當(dāng)n≥2時,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1).②
由①-②,得2n-1an=8.∴an=24-n.
在①中,令n=1,得a1=8=24-1,
∴an=24-n(n∈N*).
由題意知b1=8,b2=4,b3=2,
∴b2-b1=-4,b3-b2=-2,
∴數(shù)列{bn+1-bn}的公差為-2-(-4)=2.
∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6.
∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)
=n2-7n+14(n∈N*).
(2)∵bk-ak=k2-7k+14-24-k,
設(shè)f(k)=k2-7k+14-24-k,
當(dāng)k≥4時,f(k)=(k-)2+-24-k,單調(diào)遞增,
且f(4)=1.
∴k≥4時,f(k)=k2-7k+4-24-k≥1.
又f(1)=f(2)=f(3)=0, ∴不存在k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
如圖,邊長為4的正方形中,點(diǎn)分別是上的點(diǎn),將折起,使兩點(diǎn)重合于.
(1)求證:;
(2)當(dāng)時,
求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量的取值為不大于的非負(fù)整數(shù)值,它的分布列為:
0 | 1 | 2 | n | ||
其中()滿足: ,且.
定義由生成的函數(shù),令.
(I)若由生成的函數(shù),求的值;
(II)求證:隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望, 的方差;
()
(Ⅲ)現(xiàn)投擲一枚骰子兩次,隨機(jī)變量表示兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和,此時由生成的函數(shù)記為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4個人參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(1) 求出4個人中恰有2個人去 參加甲游戲的概率;
(2)求這4個人中去參加甲游戲人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
(3)用分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人口老齡化的到來,我國的勞動力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)心的話題,為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡 | |||||
人數(shù) | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | |||||
人數(shù) | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經(jīng)調(diào)查年齡在,的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人,現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人,進(jìn)行跟蹤調(diào)查.
(Ⅰ)求年齡在的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;
(Ⅱ)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)是定義在上的增函數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.若實(shí)數(shù)滿足不等式,則的取值范圍是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某居民小區(qū)要建造一座八邊形的休閑小區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的,是面積為200平方米的十字形地帶.計劃在正方MNPQ上建一座花壇,造價是每平方米4 200元,在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪上花崗巖地坪,造價是每平方米210元,再在四個空角上鋪上草坪,造價是每平方米80元.
(1)設(shè)總造價是S元,AD長為x米,試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)x為何值時,S最?并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,,設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)時,函數(shù)有且只有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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