【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=SB,點(diǎn)M是SD的中點(diǎn),AN⊥SC,且交SC于點(diǎn)N.

(1)求證:SC⊥平面AMN;
(2)求二面角D﹣AC﹣M的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,

∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD為x軸,AB為y軸,AS為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

由SA=AB,設(shè)AB=AD=AS=1,

則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M( ,0, ),

=( ,0, ), =(﹣1,﹣1,1),

=﹣ + =0,∴ ,

∴SC⊥⊥AM,

又SC⊥AN,且AN∩AM=A,

∴SC⊥平面AMN


(2)解:∵SA⊥底面ABCD,∴ 是平面ABCD的一個(gè)法向量,且 =(0,0,1),

設(shè)平面ACM的法向量為 =(x,y,z),

=(1,1,0), =( ,0, ),

,取x=﹣1,得 =(﹣1,1,1),

cos< , >= = = ,

由圖形知二面角D﹣AC﹣M為銳二面角,

∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值為


【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD為x軸,AB為y軸,AS為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明SC⊥平面AMN.(2)求出平面ABCD的一個(gè)法向量和平面ACM的法向量,利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.
C.
D.

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D.90°

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A. π
B. π
C. π
D.8π

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