【題目】在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,是的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí),求面與面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可;
(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以確定點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離,結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點(diǎn)到平面的距離最大,最大值為1.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量夾角公式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.
(1)證明:取中點(diǎn),連接,
因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形且.
所以,
因?yàn)?/span>,所以,
又,
所以平面,因?yàn)?/span>平面,
所以.
同理可證,
因?yàn)?/span>,
所以平面.
(2)解:由(1)得平面,
所以平面平面,平面平面.
所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離.
過作的垂線段,在所有的垂線段中長(zhǎng)度最大的為,此時(shí)必過的中點(diǎn),
因?yàn)?/span>為中點(diǎn),所以此時(shí),點(diǎn)到平面的距離最大,最大值為1.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則
所以
平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面的法向量為,
則即
取,則,
,
所以,
所以面與面所成二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】物業(yè)公司為了改善某小區(qū)空氣質(zhì)量和居住環(huán)境,計(jì)劃將小區(qū)內(nèi)部的空地種植綠植,平時(shí)許多用戶將私家車停在空地上,為了了解該小區(qū)居民對(duì)種植綠植的態(tài)度,在該小區(qū)中隨機(jī)抽查了100人進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查情況如下表:
年齡段 | ||||||
頻數(shù) | 5 | 15 | 20 | 20 | 10 | |
贊成人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 18 | 16 | 2 |
(1)求出表格中的值,并完成被調(diào)查人員年齡的頻率分布圖.
(2)若從年齡在被調(diào)查者中按照是否贊成進(jìn)行分層抽樣,從中抽取5人參與某項(xiàng)調(diào)查,然后再從這5人中隨機(jī)抽取2人參加座談會(huì),求選出的2人中至少有1人贊成“種植綠植”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新高考取消文理科,實(shí)行“”模式,成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人,并把調(diào)查結(jié)果制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
了解 | 4 | 12 | 6 | 5 | 2 | 1 |
(1)把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年,請(qǐng)根據(jù)上表完成列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?
了解新高考 | 不了解新高考 | 總計(jì) | |
中青年 | |||
中老年 | |||
總計(jì) |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線和曲線交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第二象限).過A作斜率為的直線交曲線M于點(diǎn)C(不同于點(diǎn)A),過點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于E,F兩點(diǎn),且.
(I)求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)的面積為S,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有如下命題,其中真命題的標(biāo)號(hào)為( )
A.若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則
B.函數(shù)(,且)的圖象恒過定點(diǎn)
C.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
D.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4,最小值為3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=|lnx|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (0,)B. (,e)C. (,)D. (0,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為等差數(shù)列,各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,__________.在①;②;③這三個(gè)條件中任選其中一個(gè),補(bǔ)充在橫線上,并完成下面問題的解答(如果選擇多個(gè)條件解答,則以選擇第一個(gè)解答記分).
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,其中.
(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.
(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為線段上一點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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