設(shè)函數(shù)f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3
①求f（x）的解析式；
②是否存在正整數(shù)a，使f（x）的最大值為12？若存在求出a的值，若不存在說明理由．
（1）設(shè)f（x）的圖象上任意點（x，f（x）），
它關(guān)于直線x=1的對稱點（2-x，f（x））在g（x）的圖象上，
當(dāng)x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x3，
當(dāng)x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x3，
又∵f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數(shù)，
∴f（x）=2ax-4x3，
則f(x)=
-2ax+4x3      (-1≤x≤0)
2ax-4x3          (0＜x≤1)
，
（2）假設(shè)存在正整數(shù)a，使函數(shù)f（x）的最大值為12，
又f（x）為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值
令f′（x）=2a-12x2=0，得x=
a
6
(a＞0)，
若
a
b
∈(0，1]，即0＜a≤6
時：
x∈(0，
a
6
]，f′(x)＞0，f(x)
單調(diào)遞增，
x∈(
a
6
，1]，f′(x)＜0，f(x)
單調(diào)遞減，
則
[f(x)]max=f(
a
6
)=2a×
a
6
-4(
a
6
)3＜2a×
a
6
≤12

故此時不存在符合題意的a，
若
a
6
＞1，即a＞6
時，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
則f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴
[f(x)]max=f(1)=2a-4
 
，
令2a-4=12，得a=8，
綜上，存在a=8滿足題意．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數(shù)，如果不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(
1
3
)=1
（1）求f(
1
9
)；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時，f（x）=x3-ax（a∈R）．
（1）當(dāng)x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）是否存在a，使得當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）有最大值1？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[a，b]上的奇函數(shù)，則f（a+b）=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．若當(dāng)x≥0時，f(x)=
|1-
1
x
0
x＞0；，
x=0.

（1）求f（x）在（-∞，0）上的解析式．
（2）請你作出函數(shù)f（x）的大致圖象．
（3）當(dāng)0＜a＜b時，若f（a）=f（b），求ab的取值范圍．
（4）若關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數(shù)解，求b，c滿足的條件．

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