如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點(diǎn).
（1）證明平面；
（2）若二面角P-AD-B為，
①證明：平面PBC⊥平面ABCD
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
 

(1)詳見解析， (2)①詳見解析，②

解析試題分析：(1)證明線面平行，一般利用線線平行進(jìn)行證明.本題條件中的中點(diǎn)較多，所以取PB中點(diǎn)M,利用中位線性質(zhì)找尋平行條件.因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E為AD中點(diǎn)，因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.，(2)①證明面面垂直，關(guān)鍵在一個(gè)面內(nèi)找出另一平面的垂線.經(jīng)分析BE平面PBC.這是因?yàn)橥ㄟ^計(jì)算可得BEPB, 又BC//AD,BEAD,從而BEBC,②求線面角，關(guān)鍵是找面的垂線，由①知BE平面PBC.所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，下面只需分別求出BE與EF的值即可.在三角形ABP中，可求得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直線EF與平面PBC所成角的正弦值為
證明(1)如圖取PB中點(diǎn)M,連接MF,AM.因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E為AD中點(diǎn)，因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.

(2)①連接PE,BE.因?yàn)镻A=PD,BA=BD,而E為AD中點(diǎn)，故PEAD,BEAD,所以PEB為二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2.在三角形ABD中，由,可解得BE=1.在三角形PEB中，PE="2," BE="1," ,由余弦定理，可解得PB=，從而，即BEPB,又BC//AD,BEAD,從而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,②連接BF，由①知BE平面PBC.所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP為直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直線EF與平面PBC所成角的正弦值為
考點(diǎn)：線面平行判定定理，面面平行判定定理，直線與平面所成的角

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面. 若.
（1）求證：平面；
（2）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn) 的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中-A BC中，AB  AC，AB=AC=2，=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求平面與所成二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．

(1)證明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱錐A′－MNC的體積．(錐體體積公式V＝Sh，其中S為底面面積，h為高)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在長(zhǎng)方體中，．
（1）若點(diǎn)在對(duì)角線上移動(dòng)，求證：⊥；
（2）當(dāng)為棱中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：面；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，，四邊形ACFE是矩形，且平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段EF上.
（1）求證：平面ACFE；
（2）當(dāng)EM為何值時(shí)，AM//平面BDF？證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，、分別為、的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面；
（3）求三棱錐的體積.

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