已知f(x)=cos(2x-
π
3
)+4sin2x

(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若x∈[0,
π
2
]
,求函數(shù)的最大值及最小值.
分析:(1)函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn),第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期;由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求出函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間;
(2)由x的范圍求出這個(gè)角的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出正弦函數(shù)的值域,即可確定出函數(shù)的最小值與最大值.
解答:解:(1)f(x)=
1
2
cos2x+
3
2
sin2x+2(1-cos2x)=
3
2
sin2x-
3
2
cos2x+2=
3
sin(2x-
π
3
)+2,
∵ω=2,∴最小正周期T=
2
=π,
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),得:kπ-
π
12
≤x≤kπ+
12
(k∈Z),
則函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-
π
12
,kπ+
12
](k∈Z);
(2)∵x∈[0,
π
2
],
∴-
π
3
≤2x-
π
3
3

∴-
3
2
≤sin(2x-
π
3
)≤1,
則fmin(x)=
3
×(-
3
2
)+2=
1
2
,fmax(x)=
3
×1+2=
3
+2.
點(diǎn)評(píng):此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及正弦函數(shù)的單調(diào)性,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=cos(ωx+
π
3
),(ω>0)
的圖象與y=1的圖象的兩相鄰交點(diǎn)間的距離為π,要得到y(tǒng)=f(x)的圖象,只須把y=sinωx的圖象( 。
A、向左平移
5
12
π
個(gè)單位
B、向右平移
5
12
π
個(gè)單位
C、向左平移
11
12
π
個(gè)單位
D、向右平移
11
12
π
個(gè)單位

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
cos(πx)           x≤0 
f(x-1)+1     x>0
,則f(
4
3
)+f(-
4
3
)
的值為( 。
A、-2B、-1C、1D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
-cosπx      x>0
f(x+1)+1  x≤0
,則f(
4
3
)+f(-
3
4
)的值等于
3-
2
2
3-
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=(
cosα
sinβ
)x+(
cosβ
sinα
)x (x>0)
α,  β∈(0,  
π
2
)
,若f(x)<2,則(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
cosπx(x<1)
f(x-1)-1(x>1)
f(
1
3
)+f(
4
3
)
=
0
0

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