Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫(xiě)出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+2cos2x，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當(dāng)x=

π

6

時(shí)取得最大值2，求出φ，即可得到函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的最值結(jié)合定義域即可求函數(shù)y=2

3

sin（2x+

π

3

）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最值．

解答： 解：（1）由題意可知A=2，T=4（

5π

12

-

π

6

）=π，ω=

2π

T

=2，
當(dāng)x=

π

6

時(shí)取得最大值2，所以 2=2sin（2×

π

6

+φ），
由于|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
故其單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（2）∵g（x）=f（x）+2cos2x=2sin（2x+

π

6

）+2cos2x=

3

sin2x+3cos2x=2

3

sin（2x+

π

3

），
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]
∴2x+

π

3

∈[0，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]
∴g（x）_min=0，g（x）_max=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，注意函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力，�？碱}型．