Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=a₅=9，等比數(shù)列{b_n}滿足0＜b_n+1＜b_n，b₁+b₂+b₃=

13

9

，b₁b₂b₃=

1

27

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，試求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由已知得a₂=3，d=

a5-a2

5-2

=

6

3

=2，a₁=3-2=1，由此能求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．由已知得3q²-10q+3=0，由此能能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=a₅=9，
∴a₂=3，d=

a5-a2

5-2

=

6

3

=2，a₁=3-2=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∵等比數(shù)列{b_n}滿足0＜b_n+1＜b_n，b₁+b₂+b₃=

13

9

，b₁b₂b₃=

1

27

，
∴公比q＞1，b₂=

1

3

，
∴

1

3q

+

1

3

+

1

3

q=

13

9

，即3q²-10q+3=0，
則q＞1，解得q=3，∴b₁=

1

9

，
∴b_n=

1

9

×3n-1=3^n-3．
（Ⅱ）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1，
∴S_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1，①
3S_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=1+2•（3+3²+3³+…+3^n-1）=1+2×

3(1-3n-1)

1-3

=1+2×

3(1-3n-1)

1-3

=1-3+3ⁿ，
∴S_n=1-

3n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．