Question

【題目】對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求的值；

（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將代入，結(jié)合定義可求得對稱中心，進(jìn)而可知.結(jié)合所求式子特征即可求解.

（2）將代入不等式，結(jié)合定義域可分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，求得極值點，即可由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得，即可確定的取值范圍.

（1）函數(shù)，

當(dāng)時，

因為，

∴，

令，解得，

則對稱中心的縱坐標(biāo)為，故對稱中心為，

所以，

所以，，…

則.

（2）∵，，

即，

又，

∴在上恒成立.

令.

∴.

∵，

令，得或（舍去）.

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴.

∴，

即的取值范圍為.