Question

已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
(3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

Answer 1

(1)  (2)  (3)

（1）依題意，解得（負(fù)根舍去）
拋物線的方程為；
（2）設(shè)點(diǎn),，，
由,即得. 
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，
即.
∵， ∴ .
∵點(diǎn)在切線上,  ∴.       ①
同理， . ②
綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 .
∵經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線是唯一的，
∴直線 的方程為，即；
（3）由拋物線的定義可知，
所以
聯(lián)立，消去得，

 


當(dāng)時(shí)，取得最小值為 
(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導(dǎo)的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過(guò)點(diǎn)P，得到直線方程；（3）通過(guò)直線與拋物線聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和拋物線定義將進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，通過(guò)參數(shù)的消減得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，然后利用二次函數(shù)求最值，需注意變量的范圍.
【考點(diǎn)定位】本題考查拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.