設函數(shù)f（x），g（x）滿足關系g（x）=f（x）•f（x+α）其中α是常數(shù)．
（1）設f（x）=cosx+sinx，α=
π
2
，求g（x）的解析式；
（2）設計一個函數(shù)f（x）及一個α（0＜α＜π）的值使得g（x）=
1
2
sin2x；
（3）設常數(shù)α=0，f（x）=
kx 
（0＜k＜1），并已知0＜x1＜x2＜
π
2
時，總有
sinx1
x1
＞
sinx2
x2
成立，當x∈( 0，
π
2
)時，試比較sin[g（x）]與g（sinx）的大�。�
分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x+α）的解析式，相乘后得到函數(shù)g（x）的解析式；
（2）由逆向思維可知f（x）•f（x+α）=sinxcosx，由此可得函數(shù)f（x）及一個α；
（3）由給出的f（x）求出g（x），從而求出sin[g（x）]與g（sinx），借助于
sinx1
x1
＞
sinx2
x2
可得答案．
解答：解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，α=
π
2

∴f（x+α）=cosx-sinx；
∴g（x）=f（x）•f（x+α）（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=cos2x-sin2x=cos2x；
（2）∵g（x）=
1
2
sin2x=sinxcosx，
若f（x）=sinx，則f（x+α）=sin（x+α）=cosx⇒α=
π
2

∴f（x）=sinx，常數(shù)α=
π
2
；
（3）由題意g（x）=kx，sin[g（x）]=sinkx，g（sinx）=ksinx
又0＜k＜1，所以0＜kx＜x＜
π
2
，
則
sinkx
kx
＞
sinx
x
，所以sinkx＞ksinx，
即sin[g（x）]＞g（sinx）．
點評：本題考查了與三角函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調性，考查了倍角公式，訓練了三角函數(shù)的誘導公式，是中檔題．
練習冊系列答案
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（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數(shù)f（x）的單調性并且說明理由．

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12
)x(x≤0)，若g（x）為f（x）在實數(shù)集R上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則函數(shù)g（x）=
2|x|
2|x|
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上可導，且f'（x）＞g'（x），則當a＜x＜b時有（　�。�

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