Question

過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F₁（-2，0）、右焦點(diǎn)F₂（2，0）分別作x軸的垂線，交雙曲線的兩漸近線于A、B、C、D四點(diǎn)，且四邊形ABCD的面積為16

3

．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PF₂為半徑的圓交射線PF₁于M，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線及其漸近線的對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形，可求四邊形ABCD的面積，從而可得雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用雙曲線的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是在以F₁為圓心，半徑為2的圓，從而可得軌跡方程．

解答：解：（1）由

x=2 y= b a x

，解得y=

2b

a

，
由雙曲線及其漸近線的對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形，故四邊形ABCD的面積為4×

4b

a

=16

3

所以b=

3

a，結(jié)合c=2且c²=a²+b²得：a=1，b=

3

，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-

y2

3

=1；
（2）P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，故|PF₁-PF₂|=2，
又M點(diǎn)在射線PF₁上，且PM=PF₂，
故F₁M=|PF₁-PM|=|PF₁-PF₂|=2，
所以點(diǎn)M的軌跡是在以F₁為圓心，半徑為2的圓，
其軌跡方程為：（x+2）²+y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．