Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2，D為棱AA₁上的點(diǎn)．
（1）若D為AA₁的中點(diǎn)，求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）若直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角為45°，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）D為AA₁中點(diǎn)，推出平面B₁CD內(nèi)的直線CD，垂直平面B₁C₁D內(nèi)的兩條相交直線DC₁，B₁C₁可得CD⊥平面B₁C₁D，即可得到平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）證明B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，可得∠B₁DC₁是直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角，進(jìn)而求出C₁D=2，A₁D=

3

，即可求AD的長．

解答： （1）證明：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性質(zhì)知B₁C₁⊥CC₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD．
由AA₁=BC=2AC=2，D為AA₁中點(diǎn)，可知DC=DC₁=

2

，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁，
又B₁C₁⊥CD，∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD?平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁DC₁是直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角，
∵直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角為45°，BC=2，
∴C₁D=2，
∵A₁C₁=1，
∴A₁D=

3

，
∵AA₁=2，
∴AD=2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力、計(jì)算能力，是中檔題．