Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為PA的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求證：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD中點O，連接OP，OB，OP⊥AD，OB⊥AD，利用線面垂直問題求解．
（Ⅱ）取PB中點N，連接NC，MN，四邊形MNCD為平行四邊形，根據(jù)判定定理證明DM∥平面PBC．
（Ⅲ）根據(jù)梯形的性質(zhì)得出底面ABCD面積為：

1

2

×(1+2)×

3

=

3 3

2

，再利用面面垂直的性質(zhì)得出四棱錐P-ABCD的高為：OP=1，利用椎體的體積公式即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）取AD中點O，連接OP，OB，
∵，AB=AD=2CD=2，△PAD為等腰直角三角形，
∴OP⊥AD，OB⊥AD，
∵OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，
∵PB?平面OPB，
∴AD⊥PB；
（Ⅱ）取PB中點N，連接NC，MN，
∵AB=AD=2CD=2，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，M為PA的中點．
∴MN=DC=1，MN∥CD，
∴四邊形MNCD為平行四邊形，
∴MD∥NC，MD?平面CPB，NC?平面CPB，
∴DM∥平面PBC；
（Ⅲ）∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，
∴梯形的高為：2×sin60°=

3

，
∴底面ABCD面積為：

1

2

×(1+2)×

3

=

3 3

2

，
∵△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90，
∴OP=1，OP⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴OP⊥平面ABCD，
即四棱錐P-ABCD的高為：OP=1，
∴四棱錐P-ABCD的體積為：

1

3

×

3 3

2

×1=

3

2

點評：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，運用直線與平面的平行，垂直的性質(zhì)，判定定理，解決空間直線平面的位置關(guān)系，求解體積，屬于中檔題．