Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），若△OMN的面積為S，直線l的運(yùn)動時間為t秒（0≤t≤4），請求出S與t的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：沿x軸正方向運(yùn)動與菱形OABC的兩邊相交有2種情況：分別列出0≤t≤2時和當(dāng)2＜t≤4時的函數(shù)解析式，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)確定面積的最大值．

解答： 解：
直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動與菱形OABC的兩邊相交有2種情況：
①0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交
∵M(jìn)N⊥OC，
∴ON=t
∴MN=ONtan60°=

3

t
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²．
②當(dāng)2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交
S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t．
當(dāng)0≤t≤2時，S_max=

3

2

×2²=2

3

當(dāng)2＜t≤4時，S_max=4

3

綜上所述，當(dāng)t=4秒時，S的最大值為4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是建立合適的數(shù)學(xué)模型．