設(shè)點(diǎn)A,B是橢圓C:x2+4y2=8上的兩點(diǎn),且|AB|=2,點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若
OF
AB
=0
,且點(diǎn)A在第一象限,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(Ⅱ)求△AOB面積的最小值.
(Ⅰ)由
OF
AB
=0
,知
OF
AB

又|AB|=2,點(diǎn)A在第一象限,
所以點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱,可設(shè)A(x,1)(x>0),
代入橢圓方程得,x2+4=8,解得x=2,
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1);
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為:y=mx+n,
y=mx+n
x2+4y2=8
,得(1+4m2)x2+8mnx+4n2-8=0,
△=64m2n2-4(1+4m2)(4n2-8)>0,即8m2-n2+2>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-
8mn
1+4m2
x1x2=
4n2-8
1+4m2

由|AB|=2,則
1+m2
|x1-x2|=2
,即(1+m2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4,
則(1+m2)[
64m2n2
(1+4m2)2
-4
4n2-8
1+4m2
]=4,化簡得,
16m4+32m2-4n2-4m2n2+7=0①,
點(diǎn)P到直線AB的距離d=
|n|
1+m2
,則n2=d2(1+m2),
代入①,并整理可得4d2=
16m4+32m2+7
(1+m2)2
=16-
9
(1+m2)2
≥16-9=7,當(dāng)m=0時(shí)取等號,
所以d≥
7
2
,
所以△AOB面積S=
1
2
|AB|•d=d
7
2
,即所求面積的最小值為
7
2
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分) 已知向量
(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)求上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知向量
a
=(cos75°,sin75°),
b
=(cos15°,sin15°),則
a
-
b
b
的夾角為(  )
A.30°B.60°C.120°D.150°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

數(shù)列{an}的a1=1,
a
=(n,an),
b
=(an+1,n+1),且
a
b
,則a100=( 。
A.-100B.100C.
100
99
D.-
100
99

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知平面向量
a
=(λ,-3)
,
b
=(4,-2)
,若
a
b
,則實(shí)數(shù)λ=( 。
A.-
3
2
B.
3
2
C.-6D.6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知
a
=(sinA,cosA),
b
=(cosC,sinC),若
3
a
b
=sin2B,
a
,
b
的夾角為θ,且A、B、C為三角形ABC的內(nèi)角.
求(1)∠B      
(2)cos
θ
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在△ABC中,已知|
AB
|=|
AC
|=2,且
AB
AC
=3,則BC邊長為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若向量
a
與向量
b
共線,且
a
=(-1,2,1),
a
b
=-12,則向量
b
=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在平面向量上定義運(yùn)算?:(m,n)?(p,q)=(mq,np).任意
a
=(x1,x2)
,
b
=(y1,y2)
,
c
=(z1z2)
,下列關(guān)于向量模長的等式中,不成立的是( 。
A.|
b
?
a
|=|
a
?
b
|
B.|(
a
?
b
)?
c
|=|
b
?(
c
?
a
)|
C.|(
a
?
b
)?
c
|=|
b
?(
a
?
c
)|
D.|(
a
?
b
)?
c
|=|
c
?(
a
?
b
)|

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