Question

三位同學(xué)合作學(xué)習(xí)，對問題“已知不等式xy≤ax²+2y²對于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍”提出了各自的解題思路．
甲說：“可視x為變量，y為常量來分析”．
乙說：“尋找x與y的關(guān)系，再作分析”．
丙說：“把字母a單獨放在一邊，再作分析”．
參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數(shù)a的取值范圍是

[-1，+∞）

．

Answer 1

分析：利用丙的方法，將字母a分離出來，只需研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值即可．將

y

x

看成整體，轉(zhuǎn)化成關(guān)于

y

x

的二次函數(shù)，求出

y

x

的范圍，即可求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．

解答：解：選用丙的方法，∵xy≤ax²+2y²
∴ax²≥xy-2y²，∴a≥

y

x

-2•

y2

x2

=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

，
又

y

x

-2•

y2

x2

=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

，
而

y

x

∈[1，3]，
∴[-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

]max=-1，
故答案為[-1，+∞）．

點評：本題以不同的思路為載體，考查學(xué)生解決問題的能力，考查了函數(shù)恒成立的問題，以及參數(shù)分離法的運用和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．