Question

數(shù)列中，a_n＞0，a_n≠1，且an+1=

3an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）證明：a_n≠a_n+1；
（2）若a1=

3

4

，計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）采用反證法證明，先假設(shè)兩種相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值為常數(shù)0或1，進(jìn)而得到此數(shù)列為是0或1的常數(shù)列，與已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，兩種不相等；
（2）把n=1及a1=

3

4

，代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值；且an+1=

3an

2an+1

化簡成

1

an+1

=

1

3

(

1

an

)+

2

3

進(jìn)而得到

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，從而判斷數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列，即可得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n．

解答：解：（1）若a_n=a_n+1，即

3an

2an+1

=an，得a_n=0或a_n=1與題設(shè)矛盾，
∴a_n≠a_n+1…（6分）
（2）a2=

9

10

，a3=

27

28

，a4=

81

82

…（8分）
由

1

an+1

=

1

3

(

1

an

)+

2

3

，得

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∴數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為

1

a1

-1=

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴

1

an

-1=(

1

3

)n，得an=

3n

3n+1

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)列的遞推式，此題利用反證法對(duì)命題進(jìn)行證明，是一道中檔題．