【題目】如圖，在寬為的路邊安裝路燈，燈柱高為，燈桿是半徑為的圓的一段劣�。窡舨捎缅F形燈罩，燈罩頂到路面的距離為，到燈柱所在直線的距離為．設(shè)為燈罩軸線與路面的交點(diǎn)，圓心在線段上．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)恰好在路面中線上?

（2）記圓心在路面上的射影為，且在線段上，求的最大值．

【答案】(1)當(dāng)為時(shí)，點(diǎn)在路面中線上；（2）

【解析】

（1）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出PQ的方程，設(shè)C（a，b），根據(jù)CA＝CP＝r列方程組可得出a，b的值，從而求出r的值；

（2）用a表示出直線PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐標(biāo)，從而可得出|HQ|關(guān)于a的函數(shù)，根據(jù)a的范圍和基本不等式得出|HQ|的最大值．

（1）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，8），P（2，10），Q（7，0），

∴直線PQ的方程為2x+y﹣14＝0．設(shè)C（a，b），則，

兩式相減得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，

∴．∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q恰好在路面中線上．

（2）由（1）知a+b﹣10＝0，

當(dāng)a＝2時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為x＝2，此時(shí)HQ＝0．

當(dāng)a≠2時(shí)，燈罩軸線所在方程為：y﹣10＝（x﹣2），

令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），

∵H在線段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．

∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，

當(dāng)且僅當(dāng)＝a即a＝時(shí)取等號(hào)．∴|HQ|的最大值為（12﹣）m．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大型工廠有臺(tái)大型機(jī)器，在個(gè)月中，臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需名工人進(jìn)行維修．每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺(tái)機(jī)器的能力，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．

（1）若每臺(tái)機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)有工人進(jìn)行維修，則稱工廠能正常運(yùn)行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；

（2）已知該廠現(xiàn)有名維修工人．

（�。┯浽搹S每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘名維修工人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為．如果，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．

（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；

（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖（如圖），若上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍為，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.

（1）求直方圖中a的值；

（2）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于40分鐘的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若招收學(xué)生1200人，請(qǐng)估計(jì)所招學(xué)生中有多少人可以申請(qǐng)住宿；

（3）求該校學(xué)生上學(xué)路上所需的平均時(shí)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在數(shù)列{an}中，設(shè)a1為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3．

（1）設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d，求的取值范圍；

（2）設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a1q的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：

①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?/span>；

那么把叫閉函數(shù)．

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；

（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

(3)若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列中，，且對(duì)任意，成等差數(shù)列，其公差為.

（1）若，求的值；

（2）若，證明成等比數(shù)列（）；

（3）若對(duì)任意，成等比數(shù)列，其公比為，設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請(qǐng)說明理由.

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